NÚMEROS REALES

05.07.2018

Resuelve el siguiente examen diagnóstico. No olvides escribir tu nombre completo e indicar el turno y el grupo al que perteneces. Recuerda que tu resultado no afectará tu evaluación.

Examen diagnóstico

I. Clasificación

Los números reales están constituidos por los números racionales (números naturales, números enteros y números fraccionarios) y los números irracionales.

a) Números Naturales (N)

Los números naturales son números que no necesitan representarse como fracciones o decimales. Además, los números naturales no pueden ser negativos. En otras palabras, los números naturales son los números con los que contamos.

Ejemplos de números naturales:

N= {1,2,3,......}

b) Números Enteros (Z)

Los enteros son los números naturales y sus opuestos incluyendo el cero. Por lo tanto, los enteros pueden ser negativos.

Ejemplos de números enteros:

Z={...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

c) Números Racionales (Q)

Los números racionales son aquellos números que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros.

Ejemplos de números racionales:

Q= {a/b,donde b ≠0 }

Q= {4/5,5/3,7/4,...}

d) Números Irracionales (I)

Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como una fracción de dos enteros.

Ejemplos de números irracionales:

I= {π,√3,...}

R= Q u I

https://www.youtube.com/watch?v=PRvO2rOH-cY&index=2&t=7s&list=PLI8kNrqpcyWu-axDJ8TVUooKY_2cY4f1d

I.1 Realiza los siguientes ejercicios con números reales:

Si necesitas ayuda apóyate en el siguiente video.

Números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos

II. Representación gráfica de los números reales.

Los números reales se pueden representar en la Recta Numérica.

III. Operaciones de Números Enteros

1. Suma y Resta de Números Enteros

a) Suma.- Los números se suman y el resultado lleva el mismo signo de los números.

Ejemplo:

+5+3 = + 8

-5-3 = - 8

b) Resta.- Los números se restan y el resultado lleva el signo del número de mayor valor.

Ejemplo:

-12+3 = - 9

+10-4 = + 6

c) Suma y Resta con paréntesis.-

c1. Cuando un signo positivo antecede a un paréntesis, los números que están dentro conservan su signo.

Ejemplo:

6 + (+3) = 6 + 3 = 9

6 + (-3) = 6 - 3 = 3

c2. Cuando un signo negativo antecede a un paréntesis, los números que están dentro cambian su signo.

Ejemplo:

6 - (3) = 6 - 3 = 3

6 - (-3) = 6 + 3 = 9

III.1 Realiza los siguientes ejercicios de sumas y restas con números enteros.

IV. Leyes de los Signos para la multiplicación

a) La multiplicación de números con igual signo siempre dará positivo el resultado.

(+)(+)=+

(-)(-)=+

Ejemplo:

( + 2 ) ( + 4 ) = + 8

( - 2 ) ( - 4 ) = + 8

b) La multiplicación de números con diferente signo siempre dará negativo el resultado.

(+)(-)= -

(-)(+)= -

Ejemplo:

( + 5 ) ( - 3 ) = - 15

( - 8 ) ( + 2 ) = - 16

4.1 Realiza los siguientes ejercicios aplicando la ley de los signos para la multiplicación.

V. Leyes de los Signos para la división

a) La división de números con igual signo siempre dará positivo el resultado.

(+)/(+)=+

(-)/(-)=+

Ejemplo:

b) La división de números con diferente signo siempre dará negativo el resultado.

(+)/(-)= -

(-)/(+)= -

Ejemplo:

5.1 Realiza los siguientes ejercicios aplicando la ley de signos para la división.

5.2 Realiza los siguientes ejercicios utilizando las leyes de los signos.

VI. Criterios de Divisibilidad

Son reglas que permiten determinar si un número es divisible o no entre otro, sin necesidad de realizar la división.

a) DIVISIBILIDAD POR 2: Un número es divisible entre dos si termina en cero o en cifra par.

•24 es divisible entre 2 porque es par.

•31 no es divisible entre 2 porque no es par.

b) DIVISIBILIDAD POR 3: Un número es divisible entre tres, si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.

•42 es divisible por 3 porque 4 + 2 = 6 es múltiplo de tres.

•43 no es divisible por 3 porque 4 + 3 = 7 que no es múltiplo de tres.

c) DIVISIBILIDAD POR 5: Un número es divisible entre cinco cuando acaba en cero o en cinco.

•35 es divisible entre 5 porque acaba en cinco.

•540 es divisible entre 5 porque acaba en cero.

Si tienes duda, consulta la siguiente página:

https://www.youtube.com/watch?v=SOqiHeiOftY&index=8&list=PLI8kNrqpcyWu-axDJ8TVUooKY_2cY4f1d

d) DIVISIBILIDAD POR 6: Un número es divisible entre 6 si es divisible a la vez entre 2 y entre 3 (La suma de las cifras ha de ser 0 o múltiplo de 3 y además ser par).

•30468 es divisible entre 6.

En principio por ser número par es divisible entre 2, Veamos si lo es entre 3: La suma de sus cifras es: 3 + 0 + 4 + 6 + 8 = 21 que es múltiplo de 3. Por consiguiente 30468 es divisible entre 6.

e) DIVISIBILIDAD POR 7: Un número es divisible entre 7 si al multiplicar por dos el último y restar el resultado del producto a la cifra que se forma con los números restantes el resultado es cero o un múltiplo de 7.

•147 es divisible entre 7, ya que 14 - 2 (7) = 14 - 14 = 0

•196 es divisible entre 7, ya que 19 - 2 (6) = 19 - 12 = 7 y 7 es múltiplo de 7.

•245 es divisible entre 7, ya que 24 - 2 (5) = 24 - 10 = 14 y 14 es múltiplo de 7.

f) DIVISIBILIDAD POR 9: Un número es divisible entre 9 cuando la suma de sus dígitos es 9 o múltiplo de 9.

•2610 es un múltiplo de 9, sumamos cada uno de sus dígitos

2 + 6 + 1 + 0 = 9

g) DIVISIBILIDAD POR 11: Un número es divisible entre 11 si el valor de la diferencia o resta de la suma de las cifras en posición par con la suma de las cifras en posición impar es cero o múltiplo de 11.

•363 es divisible entre 11, ya que: I 6 - (3 + 3) I = I 6-6 I = I 0 I = 0

•2618 es divisible entre 11, ya que: I (6 + 8) - (2 + 1) I = I 14-3 I = I 11 I = 11 y 11 es múltiplo de 11.

Si tienes duda, consulta el siguiente video:

https://www.youtube.com/watch?v=_7EnQXkKDdU&list=PLI8kNrqpcyWu-axDJ8TVUooKY_2cY4f1d&index=9

6.1 De cada uno de los siguientes números determina su divisibilidad de acuerdo a los criterios anteriores.

VII. Números Primos Y Compuestos

a) Número Primo: Es aquel que solo tiene dos divisores: la unidad y él mismo.

b) Número Compuesto: Es aquel que tiene más de tres divisores.

7.1 Ejercicios: Determina cuál de los siguientes números es primo o compuesto.

3. Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos; comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que n.

Para una mejor comprensión de la tabla de Eratóstenes, te recomendamos entrar al siguiente link:

https://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/primaria/actividades/aritmetica/naturales_y_enteros/criba_de_eratostenes/actividad.html

VIII. Descomposición de un Número Entero en Factores Primos.

En el campo de las matemáticas, se conoce como factor cada número o expresión que participa en una multiplicación. Los factores primos de un número entero son los números primos divisores exactos de ese número.

Ejemplo.

8.1 Descomponer en factores primos los siguientes números enteros.

IX. Mínimo común múltiplo (m.c.m)

El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de 2 o más números.

Ejemplo :

9.1 Ejercicios: Determina el mínimo común múltiplo de los siguientes números.

X. Máximo Común Divisor (M.C.D)

Es el mayor de los divisores en común de 2 o más números:

Ejemplo:

10.1 Ejercicios: Determina el máximo común divisor de los siguientes números.

XI. Fracciones.

a) Definición de Fracción Propia: Se llama fracción propia a aquella fracción donde el numerador (el número de arriba) es menor que el denominador (el número de abajo).

Ejemplo:

b) Definición de Fracción Impropia: Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1

Ejemplo:

c) Definición de Fracción Mixta: Se llama fracción mixta aquella fracción que está formada por una parte entera y una fraccionaria.

Ejemplo:

d) Convertir Números Mixtos a Fracciones Impropias.

Para convertir un número mixto a fracción impropia se utilizan los siguientes pasos.

•Multiplica el entero por el denominador de la fracción.

•Al resultado anterior súmale el numerador, el resultado de estas operaciones sería el numerador la fracción impropia y se conservaría el denominador original para la fracción resultante.

e) Suma y Resta de Fracciones con igual denominador.

Al tener el mismo denominador en las fracciones que vamos a sumar o restar, dejamos el mismo denominador y sumamos o restamos el numerador.

Ejemplo:

d) Suma o resta de fracciones con denominadores coprimos (no tienen divisores en común).

Para calcular la suma o resta de este tipo de fracciones tendremos que multiplicar los denominadores para hallar el denominador de la fracción resultante, y para conseguir el numerador tendríamos que multiplicar el numerador de una de las fracciones por el denominador de la otra y viceversa, y posteriormente, sumar o restar el resultado, dependiendo del tipo de operación que tengamos que realizar.

Ejemplo:

Los denominadores son 10 y 3, que son diferentes y no tienen divisores en común, por lo que tendremos que multiplicarlos entre ellos. 10 x 3 = 30, por lo que 30 será el denominador de la fracción resultante.

Para calcular el numerador, tendremos que multiplicar 11 x 3 = 33 y 10 x 2 = 20, y sumar los resultados, 33 + 20 = 53, que sería el numerador de la fracción obtenida.

e) Suma o resta de fracciones con un denominador que es divisor del otro.

Ejemplo:

f) Suma o resta de fracciones con el mínimo común múltiplo (mcm)

Ejemplo:

Por lo tanto, el denominador común es 24.

Ahora, para calcular el numerador de cada una de las fracciones que vamos a sumar, dividimos el mínimo común múltiplo calculado entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

g) Multiplicación de Fracciones.

Multiplicar en línea: Se multiplican los denominadores para obtener el denominador final y se multiplican los numeradores para obtener el numerador final.

Primero debemos simplificar las fracciones para que resulte más fácil multiplicar después. Por lo tanto, para simplificar lo que haremos será descomponer cada número en factores primos.

4=2×2

8=2×2×2

15=3×5

9=3×3

Y sustituimos cada número de las fracciones por sus factores primos.

h) Cómo se hace una multiplicación de fracciones con un número entero.

Cuando queremos multiplicar una fracción por un número entero es muy sencillo, simplemente el número entero lo pasamos a fracción poniendo como denominador un 1.

i) División de Fracciones.

Método 1 de división de fracciones: Multiplicar en cruz.

Este método consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y el resultado colocarlo en el numerador de la fracción final. Por otro lado, tenemos que multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el resultado lo escribimos en el denominador de la fracción final.

Se llama método de la cruz por el siguiente esquema:

En amarillo: Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. El resultado se escribe en el numerador.

En verde: Se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda. El resultado de escribe en el denominador.

Método 2 de división de fracciones: Invertir y multiplicar.

Este método consiste en invertir la SEGUNDA FRACCIÓN, es decir, cambiar el denominador por el numerador y cambiar el numerador por el denominador. Después, se multiplican las dos fracciones.

Recuerda que para multiplicar fracciones se hace en línea: Numerador por numerador y denominador por denominador.

Siguiendo con el ejemplo anterior, tenemos que invertir la segunda fracción, por lo tanto cambiamos el 7 por el 5 y el 5 por el 7. Ahora cambiamos la división por una multiplicación.

Para multiplicar las dos fracciones tenemos que multiplicar la línea: numerador por numerador y denominador por denominador.

11.1 Resuelve las siguientes operaciones de fracciones.

XII. Raíz cuadrada.

Calcular una raíz cuadrada significa encontrar cuál es el número que multiplicado por sí mismo, o sea elevándolo al cuadrado, nos da por resultado el número original. Si el número es un número cuadrático, la raíz cuadrada es exacta, trabajando con los números naturales, es decir de los números enteros y positivos. Si decimos que 6×6 = 36 entonces, la raíz cuadrada de 36 es 6, otro ejemplo: Si 4×4 es = 16 entonces la raíz cuadradade16 es 4 Calcular raíces cuadradas es sencillo si entiendes el concepto: hallar la raíz cuadrada de un número significa encontrar ese número que elevado al cuadrado (multiplicado por sí mismo) te da el número del cual partiste. Hay números cuya raíz cuadrada es exacta, ya sea dentro de los naturales, enteros, decimales o fracciones pero hay otros que no son exactos y para ello hay que hacer un proceso especial para tener exactitud o hacerlo por aproximación, según la necesidad que tengas.

Los números cuyas raíces cuadradas son exactas se denominan números cuadráticos. Los números cuadráticos provienen de elevar cada número al cuadrado, es decir de multiplicarlos por sí mismos. Por ejemplo la raíz cuadrada de 49 es 7 porque 7×7 es 49. Esto se escribe: Hay métodos aproximados para calcular las raíces no exactas, estas pueden ser reemplazadas por las calculadoras y evitar un trabajo engorroso el cual te lo explicaremos para que los sepas por si tienes que calcular una raíz cuadrada y no tienes acceso a una calculadora.

1. Calcular una raíz cuadrada primero debemos conocer las partes de ella: el número que está adentro del símbolo de la raíz (81) se denomina radicando, el número pequeño que está sobre la parte superior del símbolo se denomina índice (en este caso es un 2 y si bien lo escribí recuerda que cuando es un dos no se escribe) y el resultado se denomina raíz cuadrada (9).

2. Trabajaremos primero con los números cuadráticos y como estas son raíces cuadradas fáciles de recordar elaboraremos una lista:

3. Estas raíces cuadradas son sencillas de calcular si recordamos los cuadrados de los números principales, digamos desde el cero hasta el 10 , 11 o 12 y también algunos números sencillos como el 20, 30, 40...así como el 100 o 10.000 o 100.000, etc

4. Mientras más sepamos más fácil será, hay multiplicaciones fáciles que nos permiten calcular raíces fáciles, por ejemplo si 20 x 20 es 400, la raíz cuadrada de 400 será 20. Fíjate en este detalle: cuando multiplicas 20 x 20 estás multiplicando 2×2= 4 y le estás agregando un cero de cada número 20, entonces te quedará: 20 x 20 = 400 ,por lo tanto la raíz cuadrado de 400 podemos dividirla en dos partes: calculamos la raíz de 4 (que es 2) y como el 400 tiene dos ceros al dos le agregamos a la derecha un solo cero, es decir que dividimos la cantidad de ceros por dos (esto es cuando se trata de una raíz cuadrada, si fuera una raíz cúbica se dividen por tres). Recuerda este procedimiento puede aplicarse cuando el número es cuadrático, si en cambio tuviéramos 500 y quisiéramos sacar la raíz cuadrada esto no nos serviría porque 5 no tiene raíz cuadrada exacta, nos resultará 26,067977.....(podríamos aproximarlo a 26,07) pero para este caso deberíamos recurrir a una calculadora o al algoritmo que ya te explicaremos.

5. Pero si queremos calcular una raíz cuadrada que no es exacta podemos hacerlo por aproximación, por ejemplo si queremos calcular la raíz cuadrada de 30 no será un número entero pero al menos podemos saber entre que números estará comprendida. ¿Cuáles son los números cuadráticos más próximos? Por defecto es el 25 y por exceso el 36, por lo tanto la raíz cuadrada de 30 estará comprendida entre 5 y 6, es decir será un poco más grande que 5 pero menor que 6. Si lo resolvemos con una calculadora para verificar veremos que: √30= 5,47...

6. Ahora calcularemos la raíz cuadrada de un número más grande para aprender el proceso. Por ejemplo: Si queremos hallar la raíz cuadrada de 131137, lo primero que debemos hacer es separar los dígitos de dos en dos de derecha a izquierda como te muestra la figura. Trazamos unas líneas que servirán para cálculos, en la primera es donde iremos formando el resultado de la raíz cuadrada.

7. Tomamos el primer número que en este caso es de dos dígitos (13) y buscamos qué número multiplicado por sí mismo se acerca, sin pasarse al 13. Lo escribimos a la derecha: 3×3=9 y ese resultado lo colocamos debajo del 13 y restamos (13-9=4). En la parte superior ponemos la primera cifra del resultado que es 3.

8. Ahora bajamos las siguientes dos cifras quedando formado el número 411. En el segundo espacio colocamos el doble de 3 (3×2=6), es decir de la primera cifra del resultado.

9. En el paso siguiente debemos agregar detrás del 6 un número que será la segunda cifra del número que formará con el 6 y lo multiplicaremos por también por él sin que se pase de 411 y sea lo más cercano posible, por ejemplo: 62×2=124(está muy lejos del 411, 66 x 6=396, este es el correcto porque si hacemos 67×7 nos pasaremos. Lo escribimos y colocamos como segunda cifra del resultado al 6.Restamos 411-396= 15

10. En el próximo paso bajamos las dos cifras siguientes formándose el número 1537. Escribimos el doble de 36 que es 72 y nuevamente buscamos un número para agregar detrás del 72 y que al multiplicarlo no supere al 1537. Por ejemplo: 723 x 3= 2169 (se pasa por lo que buscaremos más pequeño). Si pruebas verás que la única posibilidad es el 2 porque 722 x 2 = 1444, luego lo colocamos debajo del 1537 y restamos. Agregamos el 2 en el resultado final (362) y nos quedó un resto de 93.

12.1 Realiza los siguientes ejercicios de raíz cuadrada.